Найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения

Как найти приближенное значение квадратного корня из числа 7 без калькулятора? Ответы репетиторов

найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для вычисления y можно воспользоваться одним из приближенных выра- . в виде ненулевого стар- шего разряда, мантиссы после запятой и степени экспоненты. . Показать, что погрешность приближенного значения корня имеет по-. Ответ на вопрос: Найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения x^2 - 5,7=0. Найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения x^2 - 5,7=0. Посмотри ответы прямо сейчас!.

Замечаем, что автомасштабирование оси f не совсем удачное f от -1 до Теперь все 5 корней уравнения отчетливо видны. Для уточнения корней до второго знака после запятой, правой кнопкой мыши на графике используем инструмент Трассировка.

Например, по графику самый большой корень уравнения показывает 1. Для окончательного уточнения корня опять используем инструмент Масштаб. Увеличиваем нужный корень до масштаба с точностью до двух знаков после запятой. Теперь отчетливо видно, что наибольший корень равен 1. Воспользуемся в MathCad функцией polyroots. Получили 5 действительных и мнимых корня. Видим, что действительные корни уравнения совпали с графическим решением с точностью до двух знаков после запятой. Для проверки подставим корни с точностью до двух знаков в исходное уравнение.

найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения

Видно, что погрешность тождества левой и правой части уравнения не более 0, Например, для наименьшего корня точность можно увеличить до трех знаков, тогда погрешность уменьшиться до 0, Набираем в строке поиска функцию и видим ее график.

Указателем мыши наводим на точки, где y равен нулю и приблизительно видим, чему равняется корень уравнения. Видим, что корней пять, однако наведением мышью найти корни с точностью до двух знаков после запятой не получается.

Пользуясь виджетом или колесиком мыши для увеличения-уменьшения графика и перетаскиванием мышью поверхности графика, увеличиваем каждый корень с точностью по оси х до двух знаков после запятой. Воспользуемся математическим интернет-сервисом WolframAlpha. На комплексном графике корней видим еще два мнимых корня. Видно, что погрешность тождества левой и правой части уравнения не более 0, 8 Для увеличения точности решения уравнения нужно использовать большее количество знаков после запятой для корней уравнения.

Например, для наименьшего корня точность можно увеличить до шести знаков, тогда погрешность уменьшиться до 0, способ решения нелинейного уравнения sin 1 Ecel Для нелинейного уравнения e 0,08 1 корни.

найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения

Пределы для также задаем в ячейках. Получаем результаты, где видим, что в районе 0 функции f1 и f не могут быть вычислены. Для функции f1 это точка разрыва, так как деление на ноль, и с этим нужно смириться. Это исправляется другой последовательностью вычислений: Теперь все вычисляется, кроме точки разрыва левой функции. Строим обычный график для двух функций f1 и f.

Решением уравнения будут точки, где эти функции равны, то есть на графике пересекаются. Построенный по умолчанию график ненагляден, так как мы видим только точку разрыва левой функции.

найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения

Подбираем такие пределы оси, чтобы были видны точки пересечения графиков. Подбирая пределы вертикальной и горизонтальной осей, локализуем все точки пересечения с точностью до двух знаков после запятой.

Например, по графику самый правый корень уравнения с точностью до двух знаков после запятой равен 15,1. Числовое значение корня можно видеть путем наведения мышью на точку пересечения на скриншоте не отображается. Подбирая пределы вертикальной и горизонтальной осей, локализуем остальные точки пересечения с точностью до двух знаков после запятой.

  • Как найти приближенное значение квадратного корня из числа 7 без калькулятора?

Для вычисления корня берется интервал по такой, чтобы внутри лежал один корень. Метод секущих же при неправильном первом приближении вообще не выдаст нужного результата. Это такой своеобразный компромисс. Если же это не получается, то придется переходить к поиску частных решений численными методами.

На рисунке 10 показано использование графика и функции root в двух ее вариантах для решения нашей задачи о моторной лодке. Двухаргументная функция root при первом приближении, равном нулю, выдала не ожидаемый положительный, а отрицательный корень.

Этот нюанс можно понять, если опять же учесть особенности метода секущих при поиске нулей функции и после построения графика не на отрезке от -3 до 3 kph, а на отрезке до 13 kph, охватывающем точки разрыва, что мы сделаем ниже. Графическое и численное функция root решение задачи о моторной лодке Уравнение движения моторной лодки, показанное на рис. К такому приему часто прибегают в школах, так как школьников, как правило, учат аналитически решать только квадратные уравнения.

Как такое преобразование можно сделать в среде Mathcad, показано на рис. Определение коэффициентов полинома Оператор символьной математики simplify упростить приводит левую часть исходного выражения к общему знаменателю, умножает обе части уравнения на полученный знаменатель и переносит все слагаемые в левую часть уравнения рис.

Таким способом выделяется функция, которая приравнена к нулю. Оператор coeffs находит коэффициенты этой функции-полинома в данном случае квадратного. Это квадратное уравнение можно решить оператором solve, но… см. Квадратичная функция, полученная после преобразования исходного уравнения движения моторной лодки, не эквивалентна исходной функции, а только имеет с ней два одинаковых корня.

В этом можно убедиться, взглянув на графики, показанные на рис. Наше исходное уравнение движения моторной лодки имеет разрывы при x, равном 12 и минус 12 kph.

Приближенное нахождение корней уравнения

В этих точках лодка не перемещается относительно берега. Квадратичная же функция таких разрывов, естественно не имеет Рис. Исходное и квадратное уравнение движения моторной лодки 2. Она имеет в качестве аргумента вектор коэффициентов полинома и возвращает его нули вектор, который на один элемент короче вектора-аргумента — см. Поиск нулей полинома в среде Mathcad В нашей задаче о движении моторной лодки полином оказался квадратным и его корни, повторяем, можно было найти через оператор символьной математики solve см.

Но в случае полиномов высокой степени оператор solve не сработает. Тут и пригодится численная встроенная функция polyroots. От двух пристаней на прямолинейном участке реки навстречу друг другу [5] одновременно отходят две моторные лодки.

Они встречаются в точке, делящей этот участок реки в золотом соотношении [6]. Найти скорость второй лодки v2 и скорость течения воды в реке v, если известна скорость первой лодки v1, расстояние между пристанями L и время t движения лодок до встречи.

Золотое соотношение сечение в задачу вставлено неслучайно. Можно поискать в своей памяти или в справочниках бумажных или интернетовских формулу золотого сечения. Но можно поступить иначе [2]: Решение уравнения золотого сечения в среде Mathcad На рисунке 14 оператор solve выдал два решения, из которых нам подходит только второе — 3.

Первое же решение Символьная математика, повторяем, выдает все ответы, из которых нужно еще уметь выбрать подходящее. Или уметь заставить оператор solve выдать нужный ответ.

Информационные технологии математических расчетов. Часть 1. Решение уравнений

На рисунке 15 показано решение в среде MathcadPrime и Mathcad 15 задачи о двух моторных лодках, сводящееся к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. Решение найдено с помощью функции Find, требующей начального приближения к решению.

Решение систем алгебраических уравнений с помощью функции Find Встроенная функция Find меняет значение своих аргументов, начиная от начального приближения так, чтобы уравнения системы превратились в тождества. Вернее, почти в тождества. Дело в том, что и обе функции root рис. Ведь что такое корень уравнения?!

Корень — это значение переменной, при котором уравнение превращается в тождество. Но при численном приближенном! Подстановка приближенного значения корня в уравнение приводит к тому, что правые и левые части уравнения отличаются друг от друга на значение, хранимое в переменной CTOL, которое по умолчанию равно 0. Это значение можно менять, решая конкретную задачу. На сайте с авторской анимацией http: Более подробно о методах решения, заложенных в функцию Find, можно почитать в работе [3].

Переменная L, которой на рис. Переменная L по умолчанию хранит значение одного литра единица вместимости и это значение переопределяется. В среде Mathcad Prime эта недоработка исправлена — там есть две независимые переменные L: Функция lsolve имеет два аргумента: Возвращает функция lsolve вектор найденных значений неизвестных.

При решении СЛАУ с помощью функции lsolve рис. В [2] дан графический анализ этой особенности с привлечением понятия ранга матрицы. Определить крейсерскую скорость судна — скорость при которой затраты на его эксплуатацию будут минимальны.

Приближенное нахождение корней уравнения

Задача предельно упрощена — затраты на эксплуатацию судна состоят из двух частей: Увеличивая скорость судна, мы экономим на зарплате экипажу, но при этом приходится больше тратить денег на горючее. Попробуем найти тут оптимальное решение! На рисунке 17 показано решение этой типичной задачи оптимизации с помощью встроенной функции Minimize с графической иллюстрацией решения.

найдите приближенно с одним знаком после запятой корни уравнения

Если бы мы не минимизировали затраты, а максимизировали, например, прибыль владельца судна, то нужно было бы при решении такой задачи функцию Minimize заменить на функцию Maximize. В оптимизационных задачах часто присутствуют ограничения — скорость судна, например, не может превышать максимально допустимую. В этом случае функции Minimizeили Maximize нужно будет поместить в область Ограничения блока Решить, показанного на рис.

Нахождение крейсерской скорости судна символьной математикойMathcad На рисунке 18 ведется поиск нулей первой производной функции по удельным затратам на километр пути судна. Но если затраты на топливо будут зависеть от скорости судна, взятой не во второй степени, а в степени n, то символьная математика уже не справится с такой усложненной задачей рис. Осечка при работе с символьной математикой Mathcad 7. Если функция Find см. Функция же Minerr в такой ситуации возвратит не сообщение об ошибке, а значения своих аргументов невязку системыпри которых система уравнений будет максимально приближена к системе тождеств — точку последнего приближения к решению.

В старых версиях Mathcad не было функций Minimize и Maximize, и задачи оптимизации приходилось решать именно через функцию Minerr. На рисунке 20 показано, как эта функция решает задачу определения крейсерской скорости судна: При использовании функции Minerr надо обязательно предусматривать проверку решений.

Нередки случаи, когда решения могут оказаться ошибочными, чаще всего из-за того, что из нескольких корней находится нереальный или не представляющий интереса корень.

Дело в том, что функция Minerr пытается найти максимальное приближение к искомому числу путем минимизации среднеквадратической погрешности решения. Следует заранее убедиться в том, что решение существует, и как можно точнее указать начальное приближение к решению.

Компьютерная математика с универсальными и скрытыми от пользователей методами аналитических и численных решений заставляет нас забывать о типах уравнений. Типы уравнений Для того чтобы без проблем и правильно решать уравнения и системы уравнений, нужно знать не только специфику численных методов см.

Математики уравнения с одним неизвестным относят к одному из четырех типов: Метод аналитического решения определяется типом решаемого уравнения. Если полином n-й степени приравнять нулю, то мы получим алгебраическое уравнение. Основная теорема алгебры говорит о том, что такое уравнение имеет ровно n корней.

Но во-первых, не все корни будут действительными и, возможно, вообще не существует ни одного действительного корня. А во-вторых, корни могут совпадать, то есть быть кратными. Доказано, что не существует формул для корней алгебраического уравнения выше пятой степени. Mathcad может решать алгебраические уравнения вплоть до четвертой степени даже символьно.

Если уравнение более высокой степени допускает частичное разложение на множители, то оно тоже может быть символьно разрешимо. Тут уместно вспомнить школьный метод подбора целого корня и теорему Безу. Если целый корень не подбирается, то такое уравнение теряет свои преимущества и становится в один ряд с другими типами уравнений.

Рассмотрим теперь рациональные уравнения.